Глагол mögen означает "любить, нравиться". Очень полезен для выражений, в которых часто ошибочно используют "lieben".

Сравните: Ich liebe reisen. и Ich mag reisen.

В первом случае значение очень сильной любви к путешествиям. Во втором - факт, что путешествия мне нравятся.

Глагол можно использовать и с инфинитивом, и с существительным.
Ich mag Eis essen. - Я люблю кушать мороженое.
Ich mag Bananen. - Я люблю бананы.

Немцы иногда спрашивают:
Magst du ein Eis? Что означает: будешь мороженое?

Обратите внимание на изменение глагола по лицам

Теперь рассмотрим глагол möchten. На самом деле это форма Konjunktiv II глагола mögen. Переводится он - "хотел бы".

Ich möchte jetzt essen. - Я хотел бы сейчас поесть.
Ich möchte bitte ein Kilo Äpfel. - Я бы хотела килограмм яблок, пожалуйста

Эту форму нельзя поставить в прошедшее время, для этого используется глагол wollen.
Ich wollte essen. - Я хотел кушать.
Ich habe das gewollt. - Я этого хотел.